Ez egy 0 középpontú hatványsor, az együtthatói:
a_n = (1+1/n)^(n^2) = ((1+1/n)^n)^n
Gyökkritériumos vizsgálattal:
(|a_n|)^(1/n) = (1+1/n)^n -> e
Tehát egyértelmű határértéke van, és így a konvergenciasugár ennek reciproka, 1/e, a konvergenciatartomány pedig első közelítésben ]-1/e, 1/e[.
A két szélső pontot kell még megvizsgálnunk, már csak azok tartozhatnak bele. x=1/e behelyettesítéssel egy numerikus sort kapunk, melynek egy általános tagja:
((1+1/n)^n)^n * (1/e)^n
Na, és erre nekem az okos Mathematicám azt dobja ki, hogy konvergál, mégpedig 1/sqrt(e)-hez. Most így hirtelen gőzöm sincs, hogy ezt hogy bizonyítsam, régen volt már analízis 1., elő kéne szednem, milyen praktikák léteznek sima, valós számsorozatok konvergenciájának vizsgálatára...
Ugye az a baj, hogy végtelen*nulla alakú, úgyhogy én elsőre törtté alakítással és l'Hôpital-szabállyal próbálgattam, de kétszeri deriválás és egy oldal teleírása után sem jutottam előrébb, mert még mindig valami hasonló alakú kifejezés maradt belőle...
Mindenesetre ha elfogadjuk az 1/sqrt(e) határértéket, akkor tehát a tagok x=1/e-nél nem tartanak 0-hoz, hanem egy pozitív számhoz, tehát itt semmiképpen sem lehet konvergens a sor. x=-1/e-nél viszont ugyanez van, csak alternáló előjellel, ez pedig itt már elegendő ahhoz, hogy a sor konvergáljon.
Szóval a konvergenciatartomány valóban [-1/e, +1/e[, amit írtál.
Serbia is like Nokia: each year a new model, and it's getting smaller.
