Matek

Hálám üldözni fog, köszike!

Hú, bocs, nem vettem észre. Elkezdem akkor elölről.

Ez egy 0 középpontú hatványsor, az együtthatói:

a_n = (1+1/n)^(n^2) = ((1+1/n)^n)^n

Gyökkritériumos vizsgálattal:

(|a_n|)^(1/n) = (1+1/n)^n -> e

Tehát egyértelmű határértéke van, és így a konvergenciasugár ennek reciproka, 1/e, a konvergenciatartomány pedig első közelítésben ]-1/e, 1/e[.

A két szélső pontot kell még megvizsgálnunk, már csak azok tartozhatnak bele. x=1/e behelyettesítéssel egy numerikus sort kapunk, melynek egy általános tagja:

((1+1/n)^n)^n * (1/e)^n

Na, és erre nekem az okos Mathematicám azt dobja ki, hogy konvergál, mégpedig 1/sqrt(e)-hez. Most így hirtelen gőzöm sincs, hogy ezt hogy bizonyítsam, régen volt már analízis 1., elő kéne szednem, milyen praktikák léteznek sima, valós számsorozatok konvergenciájának vizsgálatára... Ugye az a baj, hogy végtelen*nulla alakú, úgyhogy én elsőre törtté alakítással és l'Hôpital-szabállyal próbálgattam, de kétszeri deriválás és egy oldal teleírása után sem jutottam előrébb, mert még mindig valami hasonló alakú kifejezés maradt belőle...

Mindenesetre ha elfogadjuk az 1/sqrt(e) határértéket, akkor tehát a tagok x=1/e-nél nem tartanak 0-hoz, hanem egy pozitív számhoz, tehát itt semmiképpen sem lehet konvergens a sor. x=-1/e-nél viszont ugyanez van, csak alternáló előjellel, ez pedig itt már elegendő ahhoz, hogy a sor konvergáljon.

Szóval a konvergenciatartomány valóban [-1/e, +1/e[, amit írtál.

Serbia is like Nokia: each year a new model, and it's getting smaller.

Segítsetek pls! Kiszámoltam az intervallumot ami [-1/e;+1/e) elvileg. De viszont, hogy konvergens vagy divergens nem tom eldönteni, mert nem egyértelmű gyökkritériummal, mert 1 az eredmény ott meg ugye mind2 lehet. Légyszí számoljátok végig azzal, hátha csak elszámoltam, mert nem boldogulok vele. Ott a függvény a képen linkelve. Előre is köszi a segítséget. Magyarázatot is adjatok majd, had jöjjek rá mit ronthattam el. eredmény biztos van, tehát nem lehet 1 az eredmény.

Határozza meg az adott hatványsor konvergencia-intervallumát. Vizsgálja meg a konvergenciáját az intervallum végpontjaiban is:
Függvény